Équations différentielles ordinaires (Kim Dang Phung)

EDO classiques : équations différentielles sur R, sur un ouvert de Rn, dans un espace de Banach

• Le cas linéaire X'=A(t)x+B(t), le cas autonome X'=Ax, le cas périodique.
• Le cas non linéaire de la forme X'=f(t,X).

Quelques modèles basés sur les EDO. Quelques exemples classiques.

Résultats a priori: lemme de Gronwall, régularité et estimations a priori.

Résultats d’existence et d’unicité

• Le cas linéaire: le problème de Cauchy, résolvante, formule de Duhamel.
• Le cas non linéaire: Théorème de Cauchy-Lipschitz.
• Prolongement des solutions. Dépendance par rapport aux conditions initiales.

EDO autonome X'=f(X).

Compacité et convexité (C. Georgelin)

Convexité

• Géométrie affine : retour  sur les notions de (sous)espaces affines, barycentres. Convexes, enveloppe convexe,points extrémaux,Théorème de Carathéodory.
• Fonctions convexes et leurs propriétés de régularité. Applications aux inégalité classiques

Compacité

• parties compactes K d’un métrique,  extrema (minima) des fonctions continues (sci)  sur K , compacts de R^n. Caractérisation par précompact et complet, compact d’un Banach
• Jauge d’un convexe, Hyperplans d’appui , Krein-Milman en dimension finie 

Espaces de fonctions continues sur un compact . Théorèmes d’Ascoli, applications.

Opérateurs Compacts 

• Spectre, valeurs propres d’un opérateur définie sur un Banach, opérateur compact,exemples. Notion de convergence faible et lien avec opérateur compact ; convexe fermé faible vs fort...
• Cadre hilbertien : les fondamentaux ( projection, Riez, Lax-Milgram, bases hilbertiennes) ; convergence faible dans un Hilbert, suites bornées et leur image par un opérateur compact, et applications à la minimisation des fonctionnelles dans H^1_0([0,1]). Opérateurs compacts d’un Hilbert, théorème spectral pour les opérateurs compacts autoadjoints. Applications aux problèmes de Sturm-Liouville.

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